Trình bày cách giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 bằng phương pháp Bernoulli

Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình có dạng: (1) (hay ) trong đó p(x), q(x) là những hàm số liên tục, cho trước. Nếu q(x) ≡ 0, thì (1) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất. Nếu q(x) ≠0, thì (1) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất. Cách giải bằng phương pháp Bernoulli: a sẽ tìm nghiệm của phương trình dưới dạng tích: Ta có: Thế vào phương trình ta có: Hay: (*) Phương trình (*) có tới 4 thông số chưa biết là u, v, u’ , v’ nên không thể giải tìm u, v bất kỳ. Để tìm u, v thỏa mãn phương trình (*), ta cần chọn u, v sao cho triệt tiêu đi 1 hàm chưa biết. Muốn vậy, ta chọn u(x) sao cho (**) Ta dễ dàng tìm được hàm u(x) thỏa (**) vì (**) chính là phương trình tách biến. Khi đó: Chọn C = 1 ta có: Như vậy ta tìm được hàm u(x) nên từ (*) ta sẽ có: Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình (1) là: